Question

16．设$\sqrt{2}a+$1，a，a-1为钝角三角形的三边，则a的取值范围为（2+$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意推出三角形的最大边，列出满足钝角三角形的关系式 $\left\{\begin{array}{l}{a+a-1＞\sqrt{2}a+1}\\{{a}^{2}+（a-1）^{2}＜（\sqrt{2}a+1）^{2}}\end{array}\right.$，解出a的范围即可．

解答 解：∵钝角三角形的三边$\sqrt{2}a+$1，a，a-1，$\sqrt{2}a+$1为最大边，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{a+a-1＞\sqrt{2}a+1}\\{{a}^{2}+（a-1）^{2}＜（\sqrt{2}a+1）^{2}}\end{array}\right.$，解得：a＞$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$，
故答案为：（2+$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 此题考查了余弦定理，三角形的边角关系，以及不等式的解法，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，属于中档题．