Question

6．过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则$\frac{|FB|}{|AF|}$=3．

Answer 1

分析 作AA₁⊥x轴，BB₁⊥x轴．则可知AA₁∥OF∥BB₁，根据比例线段的性质可知$\frac{|FB|}{|AF|}$=$\frac{|O{B}_{1}|}{|O{A}_{1}|}$=$\frac{|{x}_{B}|}{|{x}_{A}|}$，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x_A+x_B和x_Ax_B的表达式，进而可求得x_Ax_B=-（$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$）²，整理后两边同除以x_A²得关于$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$的一元二次方程，求得$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$的值，进而求得$\frac{|FB|}{|AF|}$．

解答 解：如图，作AA₁⊥x轴，BB₁⊥x轴．
则AA₁∥OF∥BB₁，
∴$\frac{|FB|}{|AF|}$=$\frac{|O{B}_{1}|}{|O{A}_{1}|}$=$\frac{|{x}_{B}|}{|{x}_{A}|}$，
又已知x_A＜0，x_B＞0，
∴$\frac{|FB|}{|AF|}$=-$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$，
∵直线AB方程为y=xtan30°+$\frac{p}{2}$
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{p}{2}$，
与x²=2py联立得x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$px-p²=0
∴x_A+x_B=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$p，x_A•x_B=-p²，
∴x_Ax_B=-p²=-（$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$）²
=-$\frac{3}{4}$（x_A²+x_B²+2x_Ax_B）
∴3x_A²+3x_B²+10x_Ax_B=0
两边同除以x_A²（x_A²≠0）得
3（$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$）²+10$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$+3=0
∴$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$=-3或-$\frac{1}{3}$．
又∵x_A+x_B=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$p＞0，
∴x_A＞-x_B，
∴$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$＜-1，
∴$\frac{|FB|}{|AF|}$=-$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$=3．
故答案为：3

点评 本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．