Question

15．如图，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠A=90°，$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AQ}$=n$\overrightarrow{QC}$，m，n＞0，且满足$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$，M是BC的中点，对任意的λ∈R，|λ•$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$|的最小值记为f（m），则对任意m＞0，f（m）的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，可得A、B、CM的坐标，求得P、Q的坐标，由|λ•$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$|的最小值等于点M到直线PQ的距离，求得f（m）的解析式，再根据它的几何意义求得它的范围，可得它的最大值．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（4，0），C（0，3）；
∵$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AQ}$=n$\overrightarrow{QC}$，m，n＞0，有P（$\frac{4m}{m+1}$，0），Q（0，$\frac{3n}{n+1}$）；

如图，λ$\overrightarrow{QP}$在直线m上，由平行四边形法则，向量λ$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$的起点为Q，终点为直线n上一点T，有$\overrightarrow{QT}$=λ$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$；
当$\overrightarrow{QT}$⊥直线n时，|λ•$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$|最小，即|λ•$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$|最小值为直线m与直线n的距离．
直线PQ：$\frac{x}{\frac{4m}{m+1}}+\frac{y}{\frac{3n}{n+1}}=1$，点M（2，$\frac{3}{2}$），
则M到PQ的距离d=$\frac{|\frac{2}{\frac{4m}{m+1}}+\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3n}{n+1}}-1|}{\sqrt{（\frac{m+1}{4m}）^{2}+（\frac{n+1}{3n}）^{2}}}$=$\frac{|\frac{1}{2m}+\frac{1}{2n}|}{\sqrt{（\frac{1}{4}+\frac{1}{4}•\frac{1}{m}）^{2}+（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}•\frac{1}{n}）^{2}}}$；
∵$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$，
d=$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{（\frac{1}{4}+\frac{1}{4}•\frac{1}{m}）^{2}+（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}•\frac{1}{n}）^{2}}}$=$\frac{1}{4\sqrt{\frac{25}{144}•（\frac{1}{m}）^{2}-\frac{5}{24}•\frac{1}{m}+\frac{5}{16}}}$=f（m）；
对y=$\frac{25}{144}•（\frac{1}{m}）^{2}-\frac{5}{24}•\frac{1}{m}+\frac{5}{16}$为二次函数，当$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{5}$时，y最小为$\frac{1}{4}$，
所以f（m）_max=$\frac{1}{4\sqrt{\frac{1}{4}}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，向量运算的几何意义，点到直线的距离公式、函数的单调性的应用，属于中档题．