Question

3．设向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，3）．
（Ⅰ）若（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）∥（-$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$），求实数λ的值；
（Ⅱ）若（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求实数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求出λ的值；
（Ⅱ）根据平面向量的坐标运算与互相垂直的数量积为0，列出方程求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），
∴3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（4，9），
-$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$=（-2-λ，3λ-1），
又（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）∥（-$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$），
∴4（3λ-1）-9（-2-λ）=0，
解得λ=-$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）∵2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（5，-1），
k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2k-1，k+3），
且（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴5（2k-1）-（k+3）=0，
解得k=$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的共线和垂直的应用问题，是基础题目．