Question

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2acosC-（2b-c）=0．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）用正弦定理化简已知等式，结合诱导公式和两角和的正弦公式化简整理得sinC（1-2cosA）=0，再由sinC＞0，解出cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入题中数据并结合基本不等式解出b+c∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]，由此可得△ABC的周长l取值范围．

解答 解：（1）∵2acosC-（2b-c）=0．
由正弦定理，2sinAcosC+sinC-2sinB=0，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴代入上式，得sinC-2cosAsinC=0，即sinC（1-2cosA）=0，
∵C∈（0，π），得sinC＞0，
∴1-2cosA，得cosA=$\frac{1}{2}$．结合A为三角形的内角，可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得b²+c²-bc=a²=3，
∴（b+c）²=3+3bc，
∵bc≤$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，
∴（b+c）²≤3+$\frac{3}{4}$（b+c）²，可得（b+c）²≤12，得b+c≤2$\sqrt{3}$，
∵△ABC中，b+c＞a=$\sqrt{3}$，∴b+c∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]，
由此可得：a+b+c∈（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]，即△ABC的周长l取值范围为（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

点评 本题给出实际应用问题，求三角形的周长的范围．着重考查了正余弦定理、三角函数的诱导公式和三角恒等变换公式、基本不等式求最值等知识，属于中档题．