Question

3．点A是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的上顶点，B、C是该椭圆的另外两点，且△ABC是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，若满足条件的△ABC只有一个，则椭圆的离心率e的范围是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e＜1
• B． 0＜e≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． 0＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$≤e＜1

Answer 1

分析 由题意不妨设：直线AB的方程为：y=kx+1；直线AC的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x+1．分别与椭圆方程联立可得|AB|，|AC|．由于|AC|=|BC|，化为
（|k|-1）[k²-（a²-1）|k|+1]=0，分别讨论即可得出．

解答 解：由题意不妨设：直线AB的方程为：y=kx+1；直线AC的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（a²k²+1）x²+2a²kx=0，解得x=0或x=$\frac{-2{a}^{2}k}{{a}^{2}{k}^{2}+1}$．
|AB|=$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{{a}^{2}{k}^{2}+1}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得|AC|=$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．
∵|AC|=|AC|，
∴$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{{a}^{2}{k}^{2}+1}$=$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．
化为（|k|-1）[k²-（a²-1）|k|+1]=0，
当|k|-1=0，即k=±1时，此时满足条件的△ABC只有一个；
当k²-（a²-1）|k|+1=0时，
△=（a²+1）（a²-3），
当$1＜a＜\sqrt{3}$时，△＜0，此时满足条件的△ABC只有一个；
$a=\sqrt{3}$时，△=0，|k|=1，此时满足条件的△ABC只有一个；
$a＞\sqrt{3}$时，满足条件的△ABC有3个．
综上可得：1＜a$≤\sqrt{3}$时，满足条件的△ABC只有一个．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$∈$（0，\frac{\sqrt{6}}{3}]$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、相互垂直的直线斜率之间的关系、等腰三角形的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．