Question

18．如图，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE为矩形，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，且AD=DC=CB=AE=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）在线段BC上是若存在的G，使得FG∥平面AMB？若存在，请指出点G所在位置；若不存在，请说明理由；
（3）求三棱锥E-MBA的体积．

Answer 1

分析 （1）在等腰梯形ABCD中，求出AB，AC，得出BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD得FC⊥平面ABCD，从而FC⊥BC，于是BC⊥平面ACFE．
（2）取AB中点P，BC的中点G，连结MP，PG，FG，则PG与AC平行且等于AC的一半，由M为EF中点知FM与AC平行且等于AC的一半，故四边形MFGP是平行四边形，于是FG∥MP，从而FG∥平面AMB；
（3）以△AEM为棱锥的底面，则BC为棱锥的高，代入体积公式计算即可．

解答 证明：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，且AD=DC=CB=1，
∴AB=2，AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}-2BC•ABcos60°}$=$\sqrt{3}$．∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
∵四边形ACFE为矩形，∴FC⊥AC，
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，FC?平面ACFE，
∴FC⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，
∴FC⊥BC．
又∵AC?ACFE，FC?平面ACFE，AC∩FC=C，
∴BC⊥平面ACFE．
（2）当G时BC中点时，FG∥平面AMB，
证明：取AB中点P，BC的中点G，连结MP，PG，FG，则PG∥AC，PG=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形ACFE是矩形，M是EF的中点，
∴MF∥AC，MF=$\frac{1}{2}$AC，
∴MF∥PG，MF=PG，
∴四边形MFGP是平行四边形，∴FG∥MP，又∵MP?平面ABM，FG?平面ABM，
∴FG∥平面ABM．
（3）EM=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由（1）可知BC⊥平面ACFE，
∴三棱锥E-MBA的体积V=$\frac{1}{3}$S_△AEM•BC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×AE×EM×BC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积计算，选择恰当的底面和高是计算关键．