Question

8．已知A（-1，0），B（0，2），动点P（x，y），S_△PAB=S
（Ⅰ）若x∈{-1，0，1，2}，y∈{-1，0，1}，求S≤1的概率；
（Ⅱ）若x∈[0，2]，y∈[0，2]，求S≤1的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型的概率公式，利用列举法进行求解即可；
（Ⅱ）利用几何概型的概率公式，求出对应的面积进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 设S≤1为事件A，x∈{-1，0，1，2}，y∈{-1，0，1}
所以所有P（x，y）的所有可能点的集合列表表示为：

	-1	0	1
-1	（-1，-1）	（-1，0）	（-1，1）
0	（0，-1）	（0，0）	（0，1）
1	（1，-1）	（1，0）	（1，1）
2	（2，-1）	（2，0）	（2，1）

为12个基本事件…（2分）A，B所在直线的方程为$\frac{x}{-1}+\frac{y}{2}=1$，即2x-y+2=0
设P（x，y）到AB的距离为d，${S_{△PAB}}=S=\frac{1}{2}|AB|d≤1$$|AB|=\sqrt{5}$，所以$d≤\frac{2}{{\sqrt{5}}}$…（3分）
P（x，y）到AB的距离为$d=\frac{|2x-y+2|}{{\sqrt{5}}}$
所以|2x-y+2|≤2即可
即-2≤2x-y+2≤2，也即-4≤2x-y≤0即可
上面基本事件中，符合-4≤x-2y≤0的所有点的集合为{（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，0），（0，1）}
共5个基本事件，所以$P（A）=\frac{5}{12}$…（6分）
（Ⅱ） x∈[0，2]，y∈[0，2]
可作出所有P（x，y）表示的线形区域C如右图${S_{△PAB}}=S=\frac{1}{2}|AB|d≤1$$|AB|=\sqrt{5}$，
所以$d≤\frac{2}{{\sqrt{5}}}$A，B所在直线的方程2x-y+2=0
到直线2x-y+2=0的距离恰等于$\frac{2}{{\sqrt{5}}}$的所有点在与A，B平行的直线上，设为2x-y+m=0，
根据两平行线的距离公式$d=\frac{|m-2|}{{\sqrt{5}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$
解得m=0或4（舍去）
所以符合要求的点的区域为2x-y=0和x≥0及y≤2的公共区域
可解得2x-y=0与y=2的交点为（1，2）
其面积为${S^'}=\frac{1}{2}×2×1=1$
所以，由几何概型可知：$P（A）=\frac{1}{4}$…（12分）

点评 本题主要考查古典概型和几何概型概率的计算，利用列举法以及转化法是解决本题的关键．