Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，△PAB是正三角形，AD=AB=2，BC=1，E是线段AB的中点
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设直线PC与平面PDE所成角为θ，求cosθ

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AD⊥PE，PE⊥AB，由此能证明平面PED⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以E为原点，在平面ABCD中过E作EB的垂直线x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空是直角坐标系，利用向量法能能求出cosθ．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，PE?平面PAB，
∴AD⊥PE，
又∵△PAB是正三角形，E是线段AB的中点，∴PE⊥AB，
∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD，
∵PE?平面PED，∴平面PED⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以E为原点，在平面ABCD中过E作EB的垂直线x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空是直角坐标系，
则E（0，0，0），C（1，1，0），D（2，-1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{ED}$=（2，-1，0），$\overrightarrow{EP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，-1，-$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=2x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，0），
设PC与平面PDE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos$θ=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．