Question

11．平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的右顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）经过已知双曲线的左焦点作抛物线C的切线，求切线方程．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线C的方程，利用双曲线的简单性质求出顶点坐标，然后求解抛物线方程．
（2）求出双曲线的左焦点坐标，设出切线方程，联立方程组求解切线方程．

解答 解：（1）依题意，设抛物线C的方程为y²=2px…（1分）
抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的右顶点
$\frac{p}{2}=1$…（2分），
所以p=2，抛物线C的方程为y²=4x…（3分）
（2）双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的左焦点为F（-2，0）…（4分）
显然x=-2不是抛物线C的切线，设所求切线为y=k（x+2）…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x+2）\end{array}\right.$及k≠0得，${y^2}=4（\frac{y}{k}-2）$…（6分）
${y^2}-\frac{4}{k}y+8=0$，依题意${（\frac{4}{k}）^2}-4×8=0$…（8分），
解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（9分）
切线方程为$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+2）$…（10分）

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力．