Question

1．已知P为离心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上动点，A（-1，1），B（1，-1）为椭圆上的两个定点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在这样的点P（x₀，y₀），设出直线AP的方程和直线BP的方程，由直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，得△PMN的面积=$\frac{|{x}_{0}+{y}_{0}|（3-{x}_{0}）^{2}}{|{{x}_{0}}^{2}-1|}$，△PAB的面积=|x₀+y₀|，由此能确定存在点P使得△PAB和△△PMN的面积相等，并能求出点P坐标．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（-1，1），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=$\frac{4}{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
（2）如图，假设存在这样的点P（x₀，y₀），
因为A（-1，1），B（1，-1），
则直线AP的方程为y-1=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}+1}$（x+1），
直线BP的方程为y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$（x-1），
∵直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，
∴令x=3，得y_M=$\frac{4{y}_{0}+{x}_{0}-3}{{x}_{0}+1}$，y_N=$\frac{2{y}_{0}-x+3}{{x}_{0}-1}$，
∴△PMN的面积S_△PMN=$\frac{1}{2}$|y_M-y_N|（3-x₀）=$\frac{|{x}_{0}+{y}_{0}|（3-{x}_{0}）^{2}}{|{{x}_{0}}^{2}-1|}$，
又∵AB=2$\sqrt{2}$，直线AB的方程为x+y=0，
∴点P到直线AB的距离d=$\frac{|{x}_{0}+{y}_{0}|}{\sqrt{2}}$，
∴△PAB的面积S_△PAB=$\frac{1}{2}AB•d$=|x₀+y₀|，
∵点P不同于A，B，∴|x₀+y₀|≠0，
∴（3-x₀）²=|x₀²-1|
解得x₀=$\frac{5}{3}$，从而y₀=±$\frac{\sqrt{33}}{9}$，
∴存在点P使得△PAB和△△PMN的面积相等，点P坐标为（$\frac{5}{3}$，±$\frac{\sqrt{33}}{9}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的确定，综合性强，难度大．