Question

11．已知点P（x₀，3）与点Q（x₀，4）分别在椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1与抛物线y²=2px（p＞0）上．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁≤0，y₂≤0）是抛物线上的两点，∠AQB的角平分线与x轴垂直，求直线AB在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别代入P，Q的坐标，解方程求得P即可点到抛物线的方程；
（2）根据条件判定直线QA、QB的斜率关系，求出直线AB的斜率，再设出直线AB的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由判别式大于0，且y₁y₂≥0，求得直线AB在y轴上的截距的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}$+$\frac{9}{12}$=1，
解得x₀=2（-2舍去），
即有点Q（2，4）分别在抛物线y²=2px上，
即有16=4p，
解得p=4，则有抛物线的方程为y²=8x；
（2）由（1）知点Q的坐标为（2，4），
由∠AQB的角平分线与x轴垂直，
可得QA、QB的倾斜角互补，即QA、QB的斜率互为相反数，
设QA的斜率为k，则QA：y-4=k（x-2），k≠0，
与抛物线方程联立，可得y²-$\frac{8}{k}$y-16+$\frac{32}{k}$=0，
方程的解为4、y₁，
由韦达定理得：y₁+4=$\frac{8}{k}$，即y₁=$\frac{8}{k}$-4，
同理y₂=-$\frac{8}{k}$-4，
又y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
∴k_AB=-1，
设AB：y=-x+b，与抛物线方程联立可得y²+8y-8b=0，
由韦达定理得：y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
∵△=64+32b＞0⇒b＞-2，y₁•y₂=-8b≥0⇒b≤0，
∴-2＜b≤0，
即直线AB在y轴上的截距的取值范围是（-2，0]．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，训练了一元二次方程有两不等根的条件的应用，是中档题．