Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2$\sqrt{2}$，PD=2．
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求三棱锥B-ACE的体积．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD得PD⊥AC，由∠CDB=∠ACD=45°得AC⊥BD．于是AC⊥平面PBD，从而平面PAC⊥平面PBD．
（2）由E为PC的中点可得E到平面ABCD的距离为$\frac{1}{2}$PD，把平面ABC当做底面，代入体积公式计算．

解答 证明：（1）设AC，BD交于点O，∵AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，
∵DB平分∠ADC，∴∠CDB=45°，∴∠DOC=90°，即AC⊥BD．
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵PD?平面PBD，BD?平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴OB=BD-OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∵E是PC的中点，∴E到平面ABCD的距离好h=$\frac{1}{2}$PD=1．
∴V_棱锥B-ACE=V_棱锥E-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•h=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•AC•OB•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，选择恰当的底面是解题关键．