Question

1．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，AC=AA₁=$\sqrt{2}$AB，∠AA₁C₁=60°．AB⊥AA₁，H为棱CC₁的中点，D为BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面AB₁H；
（Ⅱ）AB=$\sqrt{2}$，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由△ACC₁是等边三角形可得AH⊥CC₁，所以AH⊥AA₁，利用面面垂直的性质得AH⊥平面ABB₁A₁，故AH⊥A₁D，在矩形ABB₁A₁中，由AA₁=$\sqrt{2}$AB可证A₁D⊥AB₁，从而A₁D⊥平面AB₁H．
（2）连结BH，则可证明AA₁⊥平面ABH，由分割补形可知棱柱的体积等于S_ABH•AA₁．

解答 证明：（1）连结AC₁，∵AC=AA₁，∠ACC₁=∠AA₁C₁=60°，∴△ACC₁是等边三角形，∴AH⊥CC₁，
∵CC₁∥AA₁，∴AH⊥AA₁，
又∵侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，侧面AA₁C₁C∩侧面ABB₁A₁=AA₁，AH?平面AA₁C₁C，
∴AH⊥平面ABB₁A₁，∵A₁D?平面ABB₁A₁，
∴AH⊥A₁D．
∵四边形ABB₁A₁是平行四边形，AB⊥AA₁，∴四边形ABB₁A₁是矩形，
∵AA₁=$\sqrt{2}$AB，∴B₁D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，∴$\frac{{B}_{1}D}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{A{A}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵∠DB₁A₁=∠B₁A₁A=90°，∴△DB₁A₁∽△B₁A₁A，∴∠DA₁B₁=∠A₁AB₁=∠AB₁D，
∴∠AB₁D+∠A₁DB₁=∠DA₁B₁+∠A₁DB₁=90°，∴A₁D⊥AB₁，
又∵AH?平面AB₁H，AB₁?平面AB₁H，AH∩AB₁=A，
∴A₁D⊥平面AB₁H．
（2）连结BH，∵AH⊥AA₁，AB⊥AA₁，AH?平面ABH，AB?平面ABH，AB∩AH=A，
∴AA₁⊥平面ABH，
∵AH⊥平面AB₁BA₁，AB?平面ABB₁A₁，
∴AH⊥AB．
∵AB=$\sqrt{2}$，∴AC=AA₁=2，∴AH=$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABH•AA₁=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×2$=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱柱的体积计算，属于中档题．