Question

12．已知常数a＞0，函数好h（x）=ln（1+ax），g（x）=$\frac{2x}{x+2}$
（Ⅰ）讨论f（x）=h（x）-g（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且f（x₁）+f（x₂）＞0，求a的取值范围．
（Ⅲ）当a=1时，证明：当0＜x＜2时，h（x）+$\sqrt{x+1}$-1$＜\frac{9x}{x+6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；
（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决；
（Ⅲ）由均值不等式，可得$\sqrt{x+1}$＜$\frac{x}{2}$+1，构造函数k（x）=ln（x+1）-x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜$\frac{3}{2}$x，记h（x）=（x+6）f（x）-9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$．
∴f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$-$\frac{4}{{（x+2）}^{2}}$=$\frac{{ax}^{2}-4（1-a）}{（1+ax{）（x+2）}^{2}}$，
∵（1+ax）（x+2）²＞0，∴当1-a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，则函数f（x）在（0，$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$）单调递减，在（$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，+∞）单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．
因此要使f（x）存在两个极值点x₁，x₂，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x₁=$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，x₂=-$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$
且由f（x）的定义域可知x＞-$\frac{1}{a}$且x≠-2，
∴-$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$＞-$\frac{1}{a}$且-$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$≠-2，解得a≠$\frac{1}{2}$，
则x₁，x₂分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，
∴f（x₁）+f（x₂）
=ln[1+ax₁]-$\frac{{2x}_{1}}{{x}_{1}+2}$+ln（1+ax₂）-$\frac{{2x}_{2}}{{x}_{2}+2}$
=ln[1+a（x₁+x₂）+a²x₁x₂]-$\frac{{{4x}_{1}x}_{2}+4{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}+2（{{x}_{1}+x}_{2}）+4}$
=ln（2a-1）²-$\frac{4（a-1）}{2a-1}$=ln（2a-1）²+$\frac{2}{2a-1}$-2．
令2a-1=x，由0＜a＜1且a≠$\frac{1}{2}$得，
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，-1＜x＜0；当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，0＜x＜1．
令g（x）=lnx²+$\frac{2}{x}$-2．
i）当-1＜x＜0时，g（x）=2ln（-x）+$\frac{2}{x}$-2，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-2}{{x}^{2}}$＜0，
故g（x）在（-1，0）上单调递减，g（x）＜g（-1）=-4＜0，
∴当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x₁）+f（x₂）＜0；
（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-2}{{x}^{2}}$＜0，
故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，
∴当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f（x₁）+f（x₂）＞0；
综上所述，a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）．
（Ⅲ）证明：h（x）+$\sqrt{x+1}$-1=ln（x+1）+$\sqrt{x+1}$-1
由均值不等式，当x＞0时，2$\sqrt{（x+1）•1}$＜x+1+1=x+2，
∴$\sqrt{x+1}$＜$\frac{x}{2}$+1①
令k（x）=ln（x+1）-x，则k（0）=0，k′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{x+1}$＜0，∴k（x）＜0
∴ln（x+1）＜x，②
由①②得，当x＞0时，f（x）＜$\frac{3}{2}$x
记h（x）=（x+6）f（x）-9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）-9
＜$\frac{3}{2}$x+（x+6）（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$）-9＜$\frac{1}{2（x+1）}$[3x（x+1）+（x+6）（3+$\frac{x}{2}$）-18（x+1）]
=$\frac{x}{4（x+1）}$（7x-18）＜0
∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0
∴当0＜x＜2时，f（x）＜$\frac{9x}{x+6}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，考查不等式的证明，正确构造函数是解题的关键．