Question

15．已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x²上的两点．
（1）求过点P，Q的曲线y=x²的切线方程；
（2）求与直线PQ平行的曲线y=x²的切线方程．

Answer 1

分析 （1）先求导数y′=2x，从而得出y=x²在P，Q点处的导数，即求出过点P，Q的切线的斜率，由直线的点斜式方程便可写出切线方程；
（2）可设切点为$（{x}_{0}，{{x}_{0}}^{2}）$，从而得出切线的斜率为2x₀，并可求出k_PQ=1，从而根据条件2x₀=1，这样即可求出x₀，求出切点的坐标，根据直线的点斜式方程便可得出切线的方程．

解答 解：（1）y′=2x；
∴过点P，Q的切线斜率分别为-2，4；
∴过点P的切线方程为：y-1=-2（x+1）；
即y=-2x-1；
过点Q的切线方程为：y-4=4（x-2）；
即y=4x-4；
（2）设切点为$（{x}_{0}，{{x}_{0}}^{2}）$；
${k}_{PQ}=\frac{4-1}{2-（-1）}=1$；
∵切线和直线PQ平行，且切线的斜率为2x₀；
∴2x₀=1；
∴${x}_{0}=\frac{1}{2}$；
∴切点为$（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$；
∴切线方程为$y-\frac{1}{4}=x-\frac{1}{2}$；
即$y=x-\frac{1}{4}$．

点评 考查过曲线上某点切线方程的求法，函数在切点处的导数便为切线的斜率，直线的点斜式方程，由两点坐标求过这两点的直线斜率的公式，以及平行直线的斜率关系．