Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率 e=$\frac{4}{5}$，且经过点（0，3），左右焦点分别为F₁，F₂，
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△ABF₂的面积S的最大值，并求出S取最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C的离心率，且椭圆经过点（0，3）建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（2）由椭圆方程可得左、右两个焦点分别为F₁（-4，0），F₂（4，0）．设直线l的方程为my=x+4．与椭圆方程联立消去x可得根与系数的关系，利用△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|，可得关于m的表达式，再利用基本不等式即可得出．

解答 解：（1）椭圆的焦点在x轴上，
∵椭圆过点A（0，3），离心率e=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
∵c²=a²-b²．
∴a²=25，b²=9，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）由椭圆方程可得a²=25，b²=9，c=4，
左、右两个焦点分别为F₁（-4，0），F₂（4，0）．
设直线l的方程为my=x+4，代入椭圆方程整理可得：（25+9m²）y²-72my-81=0．
∴y₁+y₂=$\frac{72m}{25+9{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{81}{25+9{m}^{2}}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{{（y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{72m}{25+9{m}^{2}}）^{2}+\frac{324}{25+9{m}^{2}}}$=90$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{25+9{m}^{2}）}^{2}}}$．
∴△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×8×90$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{25+9{m}^{2}）}^{2}}}$=360$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{25+9{m}^{2}）}^{2}}}$，
令t=1+m²（t≥1），则S=360$\sqrt{\frac{t}{（16+9t）^{2}}}$=360$\sqrt{\frac{1}{81t+\frac{256}{t}+288}}$，
由81t+$\frac{256}{t}$≥2$\sqrt{81t•\frac{256}{t}}$=288，当且仅当t=$\frac{16}{9}$取得等号．
△ABF₂面积S取得最大值360×$\sqrt{\frac{1}{576}}$=15．
即当m=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$时，△ABF₂面积S取得最大15．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想在解决问题中的应用，注意运用椭圆的定义和转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．