Question

8．已知四面体各面都是边长为13，14，15的全等三角形．
（1）求此三棱锥的体积；
（2）求顶点D到底面的距离．

Answer 1

分析 （1）四面体为长方体切去4个相等的三棱锥得到的，长方体的对角线分别是13，14，15，根据对角线长求出长方体的长宽高；
（2）根据棱锥的体积列出方程解出棱锥的高．

解答 解：（1）∵四面体各面都是边长为13，14，15的全等三角形，
∴该四面体可看做对角线长分别为13，14，15的长方体切去4个相等的三棱锥得到的．设长方体的长宽高分别是a，b，c，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=1{3}^{2}}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=1{4}^{2}}\\{{b}^{2}+{c}^{2}=1{5}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{70}}\\{b=3\sqrt{11}}\\{c=\sqrt{126}}\end{array}\right.$．
∴V=abc-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc×4$=$\frac{1}{3}abc$=42$\sqrt{55}$．
（2）cos∠BAC=$\frac{1{3}^{2}+1{4}^{2}-1{5}^{2}}{2×13×14}$=$\frac{5}{13}$，∴sin∠BAC=$\frac{12}{13}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×13×14×\frac{12}{13}$=84．设D到底面ABC的距离为h，则$\frac{1}{3}×84h$=42$\sqrt{55}$．解得h=$\frac{3\sqrt{55}}{2}$．

点评 本题考查四面体的体积，顶点A到底面BCD的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．