Question

18．已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）已知函数g（x）=1n（1+x）-x+$\frac{k}{2}$x²（k≥0），讨论函数g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）=x³-ax²-3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出参数a的取值范围；
（2）求出函数的导数，通过讨论k的范围，解关于导函数的不等式，从而求出g（x）的单调性问题．

解答 解：（1）y=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0；
实数a的取值范围是（-∞，0]；
（2）函数g（x）的定义域是（-1，+∞），
g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1+kx=$\frac{x[kx+（k-1）]}{x+1}$，
①k=0时，g′（x）=-$\frac{x}{x+1}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜0，令g′（x）＜0，解得：x＞0，
∴g（x）在（-1，0）递增，在（0，1）递减；
②0＜k＜1时，-$\frac{k-1}{k}$＞0，
令g′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{k-1}{k}$或x＜0，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜-$\frac{k-1}{k}$，
∴g（x）在（-1，0）递增，在（0，-$\frac{k-1}{k}$）递减，在（-$\frac{k-1}{k}$，+∞）递增；
③k≥0时，-$\frac{k-1}{k}$≤0，
令g′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{k-1}{k}$或x＞0，
令g′（x）＜0，解得：-$\frac{k-1}{k}$＜x＜0，
∴g（x）在（-1，-$\frac{k-1}{k}$）递增，在（-$\frac{k-1}{k}$，0）递减，在（0，+∞）递增．

点评 主要考查函数单调性的综合运用，函数的单调性特征与导数之间的综合应用能力，把两个知识加以有机会组合．特别，在研究函数的单调区间或决断函数的单调性时，三个基本步骤不可省，一定要在定义域内加以求解单调区间或判断单调性．