Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），斜率为1且过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，且$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=λ（3，-1）．
（1）求$\frac{a}{b}$的值；
（2）试证明直线OM的斜率k₁与直线ON的斜率k₂的乘积k₁•k₂为定值，并求该定值；
（3）设A为椭圆上任意一点，且满足$\overrightarrow{OA}$=α（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+β$\overrightarrow{MN}$（α，β∈R），求αβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的焦点F（c，0），直线l：y=x-c，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，化简整理，即可得到所求值；
（2）运用韦达定理和a，b，c的关系，以及直线的斜率公式，即可得到定值；
（3）设A（m，n），则有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，运用向量共线的坐标表示，两边平方，化简可得2α²+2β²=1，设α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ，β=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ，0≤θ＜2π，再由二倍角的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点为F（c，0），
可得直线l：y=x-c，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立椭圆方程，可得（b²+a²）x²-2ca²x+a²c²-a²b²=0，
即有x₁+x₂=$\frac{2c{a}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}}$，y₁+y₂=x₁+x₂-2c=-$\frac{2c{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=λ（3，-1），可得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（3λ，-λ），
即有a²=3b²，即为$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$；
（2）证明：由（1）可得，x₁+x₂=$\frac{2c{a}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{3c}{2}$，
x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{3}{4}$（c²-b²）=$\frac{3}{4}$（c²-$\frac{1}{2}$c²）=$\frac{3}{8}$c²，
则k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-c}{{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}-c}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-c（{x}_{1}+{x}_{2}）+{c}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\frac{3}{8}{c}^{2}-c•\frac{3c}{2}+{c}^{2}}{\frac{3{c}^{2}}{8}}$=-$\frac{1}{3}$为定值；
（3）设A（m，n），则有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由$\overrightarrow{OA}$=α（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+β$\overrightarrow{MN}$=α（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+β（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$）
=（α-β）$\overrightarrow{OM}$+（α+β）$\overrightarrow{ON}$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{m=（α-β）{x}_{1}+（α+β）{x}_{2}}\\{n=（α-β）{y}_{1}+（α+β）{y}_{2}}\end{array}\right.$，
由$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=（α-β）²•（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$）+（α+β）²•（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$）+2（α²-β²）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{b}^{2}}$）
=（α-β）²+（α+β）²+2（α²-β²）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{b}^{2}}$）
=2α²+2β²+2（α²-β²）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{3{b}^{2}}$）=2α²+2β²=1，
设α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ，β=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ，0≤θ＜2π，
即有αβ=$\frac{1}{2}$cosθsinθ=$\frac{1}{4}$（2sinθcosθ）=$\frac{1}{4}$sin2θ≤$\frac{1}{4}$，
当2θ=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{4}$时，αβ取得最大值，且为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和运用，考查向量共线的坐标表示，以及直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查换元法的运用和三角函数的恒等变换及正弦函数的值域的运用，属于中档题．