Question

16．如图，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=$\frac{{b}^{2}}{2}$，椭圆C₁短轴的上端点为A，左焦点为F，直线AF与圆C₂相切，椭圆C₁左焦点到左准线的距离为1．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设点N为椭圆C₁上异于A、B的任意一点，求△ABN面积的最大值；
（3）试探求x轴上是否存在定点M，使得∠AMF=∠BMF，若存在，求点M的坐标，若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A（0，b），F（-c，0），求得直线AB的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，以及椭圆的准线方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程；
（2）求得A，B的坐标，弦长AB，再设直线y=x+t，代入椭圆方程，由相切的条件判别式为0，可得t，再由平行直线的距离公式可得N到直线的最大距离，即可得到所求面积的最大值；
（3）假设x轴上存在定点M（m，0），使得∠AMF=∠BMF，可得直线AM，BM的斜率互为相反数，运用直线的斜率公式计算即可得到所求点的坐标．

解答 解：（1）由题意可得A（0，b），F（-c，0），
直线AF的方程为cy-bx=bc，
由直线和圆相切的条件可得$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{b}{\sqrt{2}}$，
即有b=c，
又椭圆C₁左焦点（-c，0）到左准线x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$的距离为1，
可得-c+$\frac{{a}^{2}}{c}$=1，a=$\sqrt{2}$c，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）将直线y=x+1代入椭圆方程，可得B（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
设与直线y=x+1平行的直线为y=x+t，
当直线y=x+t与椭圆相切时，面积取得最值．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得3x²+4tx+2t²-2=0，
由△=16t²-12（2t²-2）=0，解得t=±$\sqrt{3}$，
由题意可得直线y=x-$\sqrt{3}$，
即有面积的最大值为$\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1）；
（3）假设x轴上存在定点M（m，0），使得∠AMF=∠BMF，
可得直线AM，BM的斜率互为相反数，
即有$\frac{1-0}{0-m}$=-$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}+m}$，解方程可得m=-2．
则x轴上存在定点M（-2，0），使得∠AMF=∠BMF．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线和椭圆相切，考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．