Question

7．已知函数f（x）=ax+（1-a）lnx+$\frac{1}{x}$，（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而确定函数的单调区间．

解答 解：a=0时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x=1，
又f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）		极小值

所以x=1时，f（x）的极小值为1；
（2）f′（x）=a+$\frac{1-a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（ax+1）（x-1）}{{x}^{2}}$（x＞0，a＜0），
-1≤a＜0时，-$\frac{1}{a}$≥1，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，-$\frac{1}{a}$）递增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）递减；
a＜-1时，-$\frac{1}{a}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＜-$\frac{1}{a}$或x＞1，
∴f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）递减，在（-$\frac{1}{a}$，1）递增，在（1，+∞）递减．

点评 本题考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，考察分类讨论，是一道中档题．