Question

6．若直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则3a+b的最小值为7+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由直线过点可得正数ab满足$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=1，整体代入可得3a+b=（3a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$）=7+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1（{a＞0，b＞0}）$过点（2，1），
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=1，故3a+b=（3a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$）
=7+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$≥7+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}{b}}$=7+2$\sqrt{6}$，
当且仅当$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}{b}$即$\sqrt{2}$b=$\sqrt{3}$a时取等号，
结合$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=1可解得a=$\frac{6+\sqrt{6}}{3}$且b=$\sqrt{6}$+1，
故答案为：7+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．