Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA，1），$\overrightarrow{n}$=（sinA+$\sqrt{3}$cosA，-3），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，其中A是△ABC的内角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=$\sqrt{7}$，b=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量垂直的条件：数量积为0，运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简整理即可得到所求角；
（Ⅱ）运用余弦定理可得c=1或2，由锐角三角形的概念可得c=2，再由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$bcsinA，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA，1），$\overrightarrow{n}$=（sinA+$\sqrt{3}$cosA，-3），
$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinA（sinA+$\sqrt{3}$cosA）-3
=2sin²A+2$\sqrt{3}$sinAcosA-3=1-cos2A+$\sqrt{3}$sin2A-3=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）-2=0，
即有2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，A=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
可得A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA，
即为7=9+c²-3c，
解得c=1或2，
若c=1，则b为最大边，且cosB=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1+7-9}{2\sqrt{7}}$＜0，
B为钝角，不合题意；
若c=2，则b为最大边，且cosB=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{4+7-9}{4\sqrt{7}}$＞0，
B为锐角，合题意，
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查向量垂直的条件：数量积为0，考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，同时考查余弦定理和面积公式的运用，属于中档题．