Question

16．已知函数f（x）=x²-2cosx，对于$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的任意x₁，x₂，有如下条件：①x₁＞x_2； ②$x_1^2＞x_2^2$；  ③|x₁|＞x_2； ④x₁＞|x₂|，其中能使$f（{x_1}）＞f（{x_2^{\;}}）$恒成立的条件个数共有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论．

解答 解：∵f（x）=x²-2cosx，∴f′（x）=2x+2sinx，
∴当x=0时，f′（0）=0；当x∈[-$\frac{π}{2}$，0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增．
∴函数f（x）在x=0时取得最小值，f（0）=0-1=-1．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数．
根据以上结论可得：
①当x₁＞x₂时，则f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②当x₁²＞x₂²时，得|x₁|＞|x₂|，则f（|x₁|）＞f（|x₂|），f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
③当|x₁|＞x₂时，由函数f（x）=x²-2cosx是偶函数，知f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）不恒成立；
④x₁＞|x₂|时，则f（x₁）＞f（|x₂|）=f（x₂）恒成立．
综上可知：能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的有②④．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、判定函数的奇偶性等是解题的关键．