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    6．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点A，B分别为椭圆C的上顶点、右顶点，过坐标原点胡直线交椭圆C于D，E两点，交AB于M点，其中点E在第一象限，设直线DE的斜率为k．
    （1）当k=$\frac{1}{2}$时，证明直线DE平分线段AB．
    （2）已知点A（0，1），则：
    ①若S△ADM=6S△AEM，求k；
    ②求四边形ADBE面积的最大值．

    分析 （1）通过离心率的值及a、b、c三者之间的关系化简可得a=2b，进而利用通过设A（0，b）、B（2b，0），利用过原点及AB中点P的直线斜率为$\frac{1}{2}$可得结论；
    （2）①通过点A坐标及离心率可知椭圆的方程，进而可得A、B的坐标，通过设直线AB、DE的方程及M、D、E的标准，利用S△ADM=6S△AEM及点M在AB上得出一个关于k的方程，进而计算可得结论；②通过四边形ADBE面积为S=S△OAD+S△OAE+S△ODB+S△OEB化简，进而根据基本不等式的性质求得最大值．

    解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    ∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
    设A（0，b）、B（2b，0），则AB中点P（b，$\frac{1}{2}$b），
    ∵kOP=$\frac{\frac{1}{2}b-0}{b-0}$=$\frac{1}{2}$，且直线DE的斜率k=$\frac{1}{2}$，
    ∴点P与点M重合，即直线DE平分线段AB；
    （2）由点A（0，1）可知b=1，
    由e2=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，可知a2=4，
    ∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1，于是B（2，0），
    直线AB、DE的方程分别为x+2y=2、y=kx（k＞0）．
    ①如图，设M（x0，kx0）、D（x1，kx1）、E（x2，kx2），其中x1＜x2，
    且x1、x2满足方程（1+4k2）x2=4，
    故x2=-x1=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，①
    ∵S△ADM=6S△AEM，
    ∴x0-x1=6（x2-x0），即x0=$\frac{1}{7}$（6x2+x1）=$\frac{5}{7}$x2=$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
    又∵由M在AB上，
    ∴x0+2kx0=2，即x0=$\frac{2}{1+2k}$，
    所以$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{2}{1+2k}$，化简得24k2-25k+6=0，
    解得k=$\frac{2}{3}$或k=$\frac{3}{8}$；
    ②由题设可知|AO|=1、|BO|=2，D（x1，kx1）、E（x2，kx2），
    不妨设y1=kx1，y2=kx2，
    由①可知得x2＞0，根据E与D关于原点对称可知y2=-y1＞0，
    故四边形ADBE面积S=S△OAD+S△OAE+S△ODB+S△OEB
    =$\frac{1}{2}$|OA|•（-x1）+$\frac{1}{2}$|OA|•x2+$\frac{1}{2}$|OB|•y2+$\frac{1}{2}$|OB|•（-y1）
    =$\frac{1}{2}$|OA|（x2-x1）+$\frac{1}{2}$|OB|（y2-y1）
    =x2+2y2
    =$\sqrt{（{x}_{2}+2{y}_{2}）^{2}}$
    =$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}+4{x}_{2}{y}_{2}}$
    ≤$\sqrt{2（{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}）}$
    =2$\sqrt{2}$，
    当且仅当x2=2y2时，上式取等号，
    所以四边形ADBE面积S的最大值为2$\sqrt{2}$．

    点评 本题主要考查了直线与椭圆的综合问题，直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，注意解题方法的积累，属于难题．

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    （1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
    （2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；
    ②求$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$的取值范围．

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