Question

16．如图，已知椭圆O：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=-2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．
（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值；
②求$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a，b，c，可得B，C，F的坐标，求得PM的方程代入椭圆方程，可得M，再由BF的方程，求得M到直线BF的距离，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值；
（2）①设P（m，-2）（m≠0），求得PM的方程，代入椭圆方程求得M的坐标，运用直线的斜率公式计算即可得到k₁•k₂为定值；
②求得向量PB，PM的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$=$\frac{{m}^{4}+15{m}^{2}+36}{4+{m}^{2}}$，令t=4+m²＞4，由函数的单调性，可得所求范围．

解答 解：（1）由椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有B（0，1），C（0，-1），F（$\sqrt{3}$，0），
直线PM：$\frac{x}{\sqrt{3}}$+$\frac{y}{-1}$=1，即为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
代入椭圆方程可得，M（$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，$\frac{1}{7}$），
连接BF，可得BF：$\frac{x}{\sqrt{3}}$+y=1，即为x+$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0，
而BF=a=2，M到直线BF的距离为d=$\frac{|\frac{8\sqrt{3}}{7}+\frac{\sqrt{3}}{7}-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$，
即有S_△MBF=$\frac{1}{2}$BF•d=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{3}}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$；
（2）①设P（m，-2）（m≠0），k_PM=$\frac{-1-（-2）}{0-m}$=-$\frac{1}{m}$，
PM：y=-$\frac{1}{m}$x-1，代入椭圆方程可得（4+m²）x²+8mx=0，
解得M（-$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{4-{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$），k₁=$\frac{\frac{4-{m}^{2}}{4+{m}^{2}}-1}{-\frac{8m}{4+{m}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$m，k₂=$\frac{1-（-2）}{0-m}$=-$\frac{3}{m}$，
则k₁k₂=$\frac{1}{4}$m•（-$\frac{3}{m}$）=-$\frac{3}{4}$为定值；
②由①知，$\overrightarrow{PB}$=（-m，3），$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$-m，$\frac{4-{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$+2）=（-$\frac{{m}^{3}+12m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{{m}^{2}+12}{4+{m}^{2}}$），
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$=-m•（-$\frac{{m}^{3}+12m}{4+{m}^{2}}$）+3•$\frac{{m}^{2}+12}{4+{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{4}+15{m}^{2}+36}{4+{m}^{2}}$，
令t=4+m²＞4，即有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$=$\frac{（t-4）^{2}+15（t-4）+36}{t}$=t-$\frac{8}{t}$+7，
由y=t-$\frac{8}{t}$+7在（4，+∞）单调递增，则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$=t-$\frac{8}{t}$+7＞4-$\frac{8}{4}$+7=9，
故$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$的取值范围为（9，+∞）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查直线和椭圆方程联立求交点，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线的斜率公式和直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．