Question

8．已知椭圆x²+4y²=16，点M（2，1）．
（1）求椭圆的焦距和离心率；
（2）若直线l过点M与椭圆交于A，B两点，且点M是线段AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）椭圆x²+4y²=16，可化为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，即可求椭圆的焦距和离心率；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点坐标公式可得x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，把A，B的坐标代入椭圆方程，然后相减可求AB的斜率，进而可求直线AB的方程．

解答 解：（1）椭圆x²+4y²=16，可化为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，∴a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，
∴椭圆的焦距为4$\sqrt{3}$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点坐标公式可得，x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
A，B代入x²+4y²=16，作差可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴直线AB的斜率为-$\frac{1}{2}$
∴直线l的方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要注意本题设点作差法的应用，此类方法一般适合用于有中点坐标求解直线的斜率问题．