Question

20．将椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1绕其中心逆时针旋转90°，所得曲线的方程是$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由旋转变换公式可得：$（\begin{array}{l}{{x}^{′}}\\{{y}^{′}}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{cos\frac{π}{2}}&{-sin\frac{π}{2}}\\{sin\frac{π}{2}}&{cos\frac{π}{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x={y}^{′}}\\{y=-{x}^{′}}\end{array}\right.$，代入椭圆方程即可得出．

解答 解：由旋转变换公式可得：$（\begin{array}{l}{{x}^{′}}\\{{y}^{′}}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{cos\frac{π}{2}}&{-sin\frac{π}{2}}\\{sin\frac{π}{2}}&{cos\frac{π}{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x={y}^{′}}\\{y=-{x}^{′}}\end{array}\right.$，
代入椭圆方程可得：$\frac{（{y}^{′}）^{2}}{25}+$$\frac{（-{x}^{′}）^{2}}{9}$=1，
即$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}$=1，
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查了旋转变换公式、椭圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．