Question

12．如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
（Ⅰ）求证：DM⊥平面BPC
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．
（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得DM⊥PB，由AP⊥PC，DM∥AP可得DM⊥PC，故DM⊥平面PBC；
（2）由DM⊥平面PBC，AP∥DM得AP⊥平面PBC，故AP⊥BC，结合AC⊥BC，可证BC⊥平面APC，从而平面ABC⊥平面APC；
（3）由M为AB中点和等边三角形的性质可求出DM，PB，进而求出底面△BCD的面积，代入体积公式求出．

解答 证明：（1）∵DM是△APB的中位线，∴DM∥AP，又∵AP⊥PC，∴DM⊥PC，
∵△PMB为正三角形，∴DM⊥PB，又∵PB?平面BPC，PC?平面BPC，PB∩PC=P，
∴DM⊥平面BPC．
（2）∵DM⊥平面BPC，DM∥AP，
∴AP⊥平面BCP，∵BC?平面BCP，
∴BC⊥AP，又∵BC⊥AC，AP?平面PAC，AC?平面APC，AP∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面APC．
（3）∵AB=20，∴PB=BM=$\frac{1}{2}$AB=10，DM=5$\sqrt{3}$，∵BC=4，∴PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{21}$．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}BC•PC$=4$\sqrt{21}$，∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△PBC=2$\sqrt{21}$．
∴三棱锥D-BCM的体积V=$\frac{1}{3}$S_△BCD•DM=$\frac{1}{3}×2\sqrt{21}×5\sqrt{3}$=10$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．