Question

4．在梯形PBCD中，A是PB的中点，DC∥PB，DC⊥CB，且PB=2BC=2DC=4（如图1所示），将三角形PAD沿AD翻折，使PB=2（如图2所示），E是线段PD上的一点，且PE=2DE．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点F，使AE∥平面PCF？若存在，请指出点F的位置并证明，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）翻折后，△PAB是等边三角形，棱锥的高为△PAB的高，棱锥的底面ABCD是正方形，代入体积公式计算即可；
（2）过E作EG∥CD，EG交PC于G，连结GF，由线面平行的性质可得四边形AEGF是平行四边形，故而AF=EG=$\frac{2}{3}CD$，即AF=$\frac{2}{3}AB$．

解答 解：（Ⅰ）如图所示，过点P作PO⊥AB于点O
∵在梯形PBCD有AD⊥PA，AD⊥AB
∴翻折后仍有AD⊥PA，AD⊥AB又∵PA∩AB=A
∴AD⊥平面PAB，∵PO?平面PAB，
∴AD⊥PO，又∵PO⊥AB，AD∩AB=A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵PA=AB=PB=2，∴△PAB是等边三角形，∴$PO=\sqrt{3}$，
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•PO=\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
（Ⅱ）存在点F，使AE∥平面PCF，此时$AF=\frac{2}{3}AB$，理由如下：
过E作EG∥CD，EG交PC于G，设F是线段AB上的一点，且$AF=\frac{2}{3}AB$，连接FG，PF，CF，
∵PE=2DE，EG∥CD，
∴EG=$\frac{2}{3}CD$，EG∥CD，
又∵AF=$\frac{2}{3}CD$，AF∥CD，
∴EG=AF，EG∥AF，∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AE∥GF，又∵AE?平面PCF，GF?平面PCF，
∴AE∥平面PCF．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，线面平行的判定与性质，属于中档题．