Question

14．如图，有一矩形相框，放置照片区域的上、下方要各留3cm空白，左、右两侧要各留2cm的空白．
（1）若相框周长为80cm，要使其面积不小于300cm²，求相框一边的范围；
（2）若相框的面积为400cm²，求框内可放照片的最大面积．

Answer 1

分析 （1）设相框高为xcm，宽为ycm，由题意可得x+y=40，xy≥300，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得xy=400，则框内照片面积S=（x-6）（y-4）=xy-6y-4x+24，即S=424-6y-4x，运用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）设相框高为xcm，宽为ycm，
由题意可得x+y=40，xy≥300，
即有x²-40x+300≤0，
解得10≤x≤30，
则相框一边的范围为[10，30]；
（2）由题意可得xy=400，
则框内照片面积S=（x-6）（y-4）=xy-6y-4x+24，
即S=424-6y-4x，
∵x＞0，y＞0，xy=400，
∴6y+4x≥2$\sqrt{24xy}$=80$\sqrt{6}$，
当且仅当6y=4x，即x=10$\sqrt{6}$，y=$\frac{20\sqrt{6}}{3}$时等号成立．
则S≤424-80$\sqrt{6}$．
即有照片面积最大为424-80$\sqrt{6}$cm²．

点评 本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．