Question

2．在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）若F为PC的中点，求AF与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD得中点M，连接EM，CM．则EM∥PA，由∠CAD=60°，CM=AM，得MC∥AB．由此能证明CE∥平面PAB．
（2）以C为原点，CA为x轴，CD为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AF与平面AEC所成角的正弦值．

解答 证明：（1）取AD得中点M，连接EM，CM．则EM∥PA，
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB，
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CM=AM，∴∠ACM=60°，
而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴MC∥平面PAB，
又∵EM∩MC=M，
∴平面EMC∥平面PAB，
∵EC?平面EMC，∴CE∥平面PAB．
解：以C为原点，CA为x轴，CD为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，
PA=2AB=4，F为PC的中点，
∴A（4，0，0），C（0，0，0），P（4，0，4），F（2，0，2），
D（0，4$\sqrt{3}$，0），E（2，2$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{AF}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{CA}$=（4，0，0），$\overrightarrow{CE}$=（2，2$\sqrt{3}$，2），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=4x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2x+2\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-3），
设AF与平面AEC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-6|}{\sqrt{8}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴AF与平面AEC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．