Question

17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），设直线l与x轴的交点为A，点B为曲线C上一动点．
（Ⅰ）求线段AB的中点P的轨迹的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）求点B到直线l的最短距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，将所给曲线C的参数方程化为普通方程，然后，根据轨迹问题，确定其轨迹问题；
（Ⅱ）首先，求解圆心到直线的距离，然后，将所求的距离减去半径即可得到最短距离．

解答 解：（Ⅰ）根据曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），得
x²+（y-1）²=1，
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴4x-3y-8=0，
令y=0，得到x=2，
∴A（2，0），
设点B的坐标为（x₀，y₀），点P的坐标为（x，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2+{x}_{0}}{2}}\\{y=\frac{0+{y}_{0}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-2}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，①
又∵点B（x₀，y₀）在圆C上，
∴x₀²+（y₀-1）²=1，
将①代入，得
（2x-2）²+（2y）²=1，
∴（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$
∴线段AB的中点P的轨迹的平面直角坐标方程：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）∵圆心（0，1）到直线的距离为$\frac{|0-3×1-8|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{11}{5}$，
∴点B到直线l的最短距离$\frac{11}{5}-1$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题重点考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的参数方程和普通方程的互化等知识，考查比较综合和灵活，掌握轨迹问题的处理思路和方法是解题的关键，属于中档题．