Question

12．如图，A、B分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（2＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，|AF|×|FB|=3．
（1）求b；
（2）已知直线l过点A且垂直于x轴，点Q是直线l异于A的动点，直线BQ交椭圆C于点P，证明：AP⊥FQ．

Answer 1

分析 （1）由|AF|×|FB|=3，可得（a+c）（a-c）=3，a=2，解得c，b²=a²-c²，即可得出．
（2）F$（\sqrt{3}，0）$．设直线BQ的方程为：y=k（x-2），令x=-2，则Q（-2，-4k）（k≠0），k_FQ=$\frac{4}{3}$k．直线方程与椭圆方程联立可得x_P，y_P，k_AP．只要证明：k_FQ•k_AP=-1．即可得出．

解答 （1）解：∵|AF|×|FB|=3，∴（a+c）（a-c）=3，a=2，解得c=1．
∴b²=3．
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）证明：F$（\sqrt{3}，0）$．
设直线BQ的方程为：y=k（x-2），
令x=-2，则Q（-2，-4k）（k≠0），
k_FQ=$\frac{4}{3}$k．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0．
则2x_P=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
解得x_P=$\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$，y_P=$\frac{-12k}{3+4{k}^{2}}$．
∴k_AP=$\frac{\frac{-12k}{3+4{k}^{2}}}{\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}+2}$=-$\frac{3}{4k}$．
∴k_FQ•k_AP=$\frac{4}{3}$k×$（-\frac{3}{4k}）$=-1．
∴AP⊥FQ．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．