Question

4．已知方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tsinα}\\{y=1+tcosα}\end{array}\right.$．
（1）当常数α∈（0，π），t为参数时，求该直线的倾斜角；
（2）当t=2，α为参数时，过点P（0，1）作直线l与己知方程的曲线相交于两个不同的点A，B，求|PA|+|PB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）k=$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）}{cos（\frac{π}{2}-α）}$=$tan（\frac{π}{2}-α）$，即可得出该直线的倾斜角．
（2）当t=2，α为参数时，化为（x-1）²+（y-1）²=4，设过点P（0，1）的直线l方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=mcosθ}\\{y=1+msinθ}\end{array}\right.$，m为参数，θ∈[0，2π）．代入圆的方程可得：m²-2mcosθ-3=0．利用根与系数的关系可得：|PA|+|PB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$．

解答 解：（1）k=$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）}{cos（\frac{π}{2}-α）}$=$tan（\frac{π}{2}-α）$，∵常数α∈（0，π），∴该直线的倾斜角为$\frac{π}{2}$-α．
（2）当t=2，α为参数时，化为（x-1）²+（y-1）²=4，
设过点P（0，1）的直线l方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=mcosθ}\\{y=1+msinθ}\end{array}\right.$，m为参数，θ∈[0，2π）．
代入圆的方程可得：m²-2mcosθ-3=0．
∴m₁+m₂=2cosθ，m₁m₂=-3．
∴|PA|+|PB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+12}$=$2\sqrt{co{s}^{2}θ+3}$∈$[2\sqrt{3}，4]$．
∴|PA|+|PB|的取值范围是$[2\sqrt{3}，4]$．

点评 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、同角三角函数基本关系式、直线参数方程的应用、直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．