Question

20．已知过点M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若这个椭圆的一个焦点为F（-1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F（-1，0）、倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l交椭圆C于两点，求这两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，代入点M，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）运用点斜式方程可得直线l的方程，代入椭圆方程，求得交点，由两点的距离公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=1，a²-b²=1，
又$\frac{1}{2{a}^{2}}$+$\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
解方程可得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由题意可得直线l的方程为y=x+1，
代入椭圆方程，可得3x²+4x=0，
解得x=0或-$\frac{4}{3}$，
即有交点为（0，1），（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
则交点间的距离为$\sqrt{（0+\frac{4}{3}）^{2}+（1+\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查点在椭圆上满足椭圆方程，同时考查直线和椭圆相交，运用两点的距离公式，属于基础题．