Question

2．若椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则实数m的值是（　　）

• A． 1
• B． 1或16
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 16

Answer 1

分析 根据题意，根据椭圆的焦点位置不同分2种情况讨论，①、椭圆的焦点在x轴上，②、椭圆的焦点在y轴上；每种情况下由标准方程求出a、b的值，结合a、b、c的关系求出c的值，进而由离心率公式可得关于m的方程，解可得m的值，综合两种情况即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$，分2种情况讨论：
①、椭圆的焦点在x轴上，有a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{m}$，
则c=$\sqrt{4-m}$，
其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-m}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解可得m=1，
②、椭圆的焦点在y轴上，有b=$\sqrt{4}$=2，a=$\sqrt{m}$，
则c=$\sqrt{m-4}$，
其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{m-4}}{\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解可得m=16，
综合可得m=1或16；
故选：B．

点评 本题考查椭圆的性质，注意需要对椭圆的焦点的位置进行分类讨论，这是本题的易错点．