Question

12．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面PCD，∠PCD=90°，PC=1.5，E是侧棱PC上的动点．
（1）求证：PC⊥平面ABCD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）当点E在何位置时，PA∥平面BDE？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质可证明结论；
（2）代入棱锥的体积公式计算可求出棱锥的体积；
（3）连结AC交BD于O，连结OE，则O是BD的中点，显然当E为PC中点时，有PA∥OE，从而PA∥平面BDE．

解答 证明：（1）∵∠PCD=90°，∴PC⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PC?平面PCD，
∴PC⊥平面ABCD．
（2）V_棱锥P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•PC=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×1.5$=2．
（3）当E为PC的中点时，PA∥平面BDE．证明如下：
连结AC交BD于O，连结OE，
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，
∴OE∥PA，∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，空间几何体的体积计算，是基础题．