Question

7．离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$的椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于相异两点M，N，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-\frac{31}{9}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ c=1\end{array}\right.$，及a²=b²+c²，解出即可得出；
（II）①当k不存在时，直线l：x=1，与椭圆方程联立解出即可得出．
②当k存在时，设直线l：y=k（x-1），弦端点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），与椭圆方程联立化为：（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0，利用根与系数的关系、向量数量积运算性质即可得出．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ c=1\end{array}\right.$，及a²=b²+c²，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{5}\\ b=2\\ c=1\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$．
（II）①当k不存在时，直线l：x=1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得交点$M（1，\frac{{4\sqrt{5}}}{5}），N（1，-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}）$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-\frac{11}{5}$，与题不符，舍去．
②当k存在时，设直线l：y=k（x-1），弦端点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{10{k^2}}}{{5{k^2}+4}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{5{k^2}-20}}{{5{k^2}+4}}\\ \\△＞0⇒k∈R\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-\frac{31}{9}$，得${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{31}{9}$，
即$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}-{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}+\frac{31}{9}=0$，
∴k=±1即直线l方程为l：y=±（x-1），
综上①②可知，直线l方程为l：y=±（x-1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量的数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．