Question

2．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于$\frac{4}{5}$，则椭圆E的离心率的取值范围是$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

Answer 1

分析 如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于$\frac{4}{5}$，得到关于b的不等式，求出b的范围．再利用离心率计算公式e=$\frac{c}{a}$即可得出．

解答 解：如图所示，
设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$≥$\frac{4}{5}$，解得b≥1．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\sqrt{1-\frac{1}{{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故答案为：$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．