Question

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过点（-2a，0）作椭圆的切线l．
（1）求切线l的斜率；
（2）平行移动直线l（移动过程中不过坐际原点），设移动后的直线与椭圆交于不同两点A，B，点B关于原点对称的点为C，若△ABC面积的最大值是2$\sqrt{3}$，求椭圆方程和平移后的直线方程．

Answer 1

分析 （1）通过设切线l的方程为x=ky-2a，结合离心率，并与椭圆方程联立，利用△=0计算即得结论；
（2）通过不妨设平行移动后直线l方程为y=2x+m，并与椭圆方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式，结合配方法计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，设切线l的方程为：x=ky-2a，
∵e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，a²=4c²，b²=3c²，
联立切线l与椭圆方程，得：3（ky-2a）²+4y²=12c²，
化简得：（3k²+4）y²-12aky+12a²-12c²=0，
令△=（12ak）²-4（3k²+4）×12b²=0，整理得：k²=$\frac{4{b}^{2}}{3{c}^{2}}$=4，
∴切线1的斜率为±$\frac{1}{2}$；
（2）依题意，不妨设平行移动后直线l方程为：y=$\frac{1}{2}$x+m，
则点O到直线AB的距离d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m，
将y=$\frac{1}{2}$x+m代入$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，整理得：x²+mx+m²-3c²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3c²，
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁x₂=m²-4•（m²-3c²）=12c²-3m²，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{12{c}^{2}-3{m}^{2}}$，
∵S_△ABC=2S_△OAB=AB•d=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{12{c}^{2}-3{m}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{-（{m}^{2}-2{c}^{2}）^{2}+4{c}^{4}}$
≤2$\sqrt{3}$c²，当且仅当m²=2c²时取等号，
∴2$\sqrt{3}$c²=2$\sqrt{3}$，即c²=1，
∴m²=2，即m=±$\sqrt{2}$，
此时平移后的直线方程为：y=$\frac{1}{2}$x±$\sqrt{2}$，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
同理可知平移后的直线方程还可以为：y=-$\frac{1}{2}$x±$\sqrt{2}$，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
综上所述，直线方程为y=$\frac{1}{2}$x±$\sqrt{2}$、y=-$\frac{1}{2}$x±$\sqrt{2}$，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．