Question

3．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x，其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，若对任意x∈（0，1）都有不等式$t＜\frac{{{{（{e_1}+{e_2}）}^2}}}{8}$恒成立，则t的最大值为（　　）

• A． $\frac{7}{4}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{5}{8}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的定义可得到a₁的值，再由AB=2c₁，e=$\frac{c}{a}$可表示出e₁，同样的在椭圆中用c₂和a₂表示出e₂，然后利用换元法即可求出e₁+e₂的取值范围，然后求出$\frac{（{e}_{1}+{e}_{2}）^{2}}{8}$的取值范围即可．

解答 解：在等腰梯形ABCD中，BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cos∠DAB
=1+4-2×1×2×（1-x）=1+4x，
由双曲线的定义可得a₁=$\frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$，c₁=1，e₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$，
由椭圆的定义可得a₂=$\frac{\sqrt{1+4x}+1}{2}$，c₂=x，e₂=$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，
则e₁+e₂=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$，
令t=$\sqrt{1+4x}-1$∈（0，$\sqrt{5}$-1），
则e₁+e₂=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{4}{t}$）在（0，$\sqrt{5}$-1）上单调递减，
所以e₁+e₂＞$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{5}$-1+$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$）=$\sqrt{5}$，
则$\frac{（{e}_{1}+{e}_{2}）^{2}}{8}$＞$\frac{5}{8}$，
则t≤$\frac{5}{8}$，
故t的最大值为$\frac{5}{8}$
故选：C．

点评 本题主要考查椭圆的定义和简单性质、双曲线的定义和简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．