Question

13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，$AD=\sqrt{2}$，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积．

Answer 1

分析 （I）由AB⊥平面PAD得平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的性质推出PH⊥平面ABCD；
（II）由AB⊥平面PAD，AB∥CD得CD⊥平面PAD，故AD⊥CD，因为E是PB中点，故E到平面BCF的距离为PH的一半，代入体积公式计算出棱锥的体积．

解答 证明：（I）∵AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊥AD，PH?平面PAD，
∴PH⊥平面ABCD．
（II）∵AB⊥平面PAD，AB∥CD，
∴CD⊥平面PAD，∵AD?平面PAD，
∴CD⊥AD，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}FC•AD$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵E是PB的中点，PH⊥平面ABCD，
∴E到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PH$=$\frac{1}{2}$，
∴V_棱锥E-BCF=$\frac{1}{3}$S_△BCF•h=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．