Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，上顶点为B（0，1）．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于M，W两点，且线段MW的中点为（1，$\frac{1}{2}$），求弦MW的长；
（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，上顶点为B（0，1），求出a，b，可得椭圆的方程；
（II）利用点差法，求出AB的斜率，可得直线AB的方程，代入椭圆方程，即可求线段AB的长．
（III）假设存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由B（0，1），F（1，0），k_BF=-1．由BF⊥MN，知k_MN=1．设直线l的方程为y=x+m，与椭圆的方程联立可得△＞0即根与系数的关系，再利用$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{FN}$=0即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，上顶点为B（0，1）．
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1．
又a²-c²=b²，从而a=$\sqrt{2}$，c=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1． 
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，
两式相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵线段MW的中点为（1，$\frac{1}{2}$），∴2（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）=0，
∴直线MN的斜率为-1，
∴直线MN的方程为y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），即2x+2y-3=0，
与椭圆方程联立可得3x²-6x-2.5=0，
∴|MN|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{4+4×\frac{2.5}{3}}$=$\frac{2\sqrt{11}}{3}$．
（Ⅲ）假设存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F．
∵B（0，1），F（1，0），∴k_BF=-1．
由BF⊥MN，知k_MN=1．
设直线l的方程为y=x+m，
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
由题意，有$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{FN}$=0．
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，即x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0．
于是2•$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$₂+（-$\frac{4m}{3}$）（m-1）+m²-m=0．
解得m=-$\frac{4}{3}$或m=1．
经检验，当m=1时，△PQN不存在，故舍去m=1．
当m=-$\frac{4}{3}$时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-$\frac{4}{3}$．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．