Question

9．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，P是椭圆上一点，M在PF₁上，且满足$\overrightarrow{{F_1}M}=λ\overrightarrow{MP}$（λ∈R），PO⊥F₂M，O为坐标原点．
（1）若椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}$=1，且P（2，$\sqrt{2}$），求点M的横坐标；
（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程求得焦点坐标，求得OP，MF₁，MF₂，的斜率，求得直线F₁M的方程，F₂M的方程，求得交点，即可得到所求M的横坐标；
（2）设P（x₀，y₀），M（x_M，y_M），运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件，再由椭圆的性质可得-a＜x₀＜a，解不等式即可得到所求离心率的范围．

解答 解：（1）∵椭圆的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$∴F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴${k_{OP}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{k_{{F_2}M}}=-\sqrt{2}，{k_{{F_1}M}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴直线F₂M的方程为：$y=-\sqrt{2}（x-2）$，直线F₁M的方程为：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（x+2）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}（x-2）}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（x+2）}\end{array}}\right.$解得：$x=\frac{6}{5}$，
∴点M的横坐标为$\frac{6}{5}$；
（2）设P（x₀，y₀），M（x_M，y_M），
∵$\overrightarrow{{F_1}M}=2\overrightarrow{MP}$∴$\overrightarrow{{F_1}M}=\frac{2}{3}（{x_0}+c，{y_0}）=（{x_M}+c，{y_M}）$
∴$M（\frac{2}{3}{x_0}-\frac{1}{3}c，\frac{2}{3}{y_0}），\overrightarrow{{F_2}M}=（\frac{2}{3}{x_0}-\frac{4}{3}c，\frac{2}{3}{y_0}）$，
∵PO⊥F₂M，$\overrightarrow{OP}=（{x_0}，{y_0}）$
∴$（\frac{2}{3}{x_0}-\frac{4}{3}c）{x_0}+\frac{2}{3}{y_0}^2=0$
即${x_0}^2+{y_0}^2=2c{x_0}$，
联立方程得：$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=2c{x}_{0}}\\{{b}^{2}{{x}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，消去y₀得：
${c^2}{x_0}^2-2{a^2}c{x_0}+{a^2}（{a^2}-{c^2}）=0$，
解得：${x_0}=\frac{a（a+c）}{c}$或 ${x_0}=\frac{a（a-c）}{c}$，
∵-a＜x₀＜a，∴x₀=$\frac{a（a-c）}{c}$∈（0，a），
∴0＜a²-ac＜ac解得：$e＞\frac{1}{2}$，
综上，椭圆离心率e的取值范围为（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查向量共线的坐标表示，以及向量垂直的条件：数量积为0，同时考查解方程和解不等式的运算求解能力，属于中档题．