Question

4．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（2，3），离心率e=$\frac{1}{2}$，直线1的方程为y=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）AB是经过（0，3）的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{3}}$？若存在，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将点P（2，3）代入椭圆方程，结合离心率计算即得结论；
（Ⅱ）分AB斜率存在、不存在两种情况讨论，结合韦达定理计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C经过点P（2，3），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
∴a²=16，b²=12，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅱ）结论：存在常数λ=2，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2}{{k}_{3}}$．
理由如下：
①当AB斜率存在时，不妨设为y=kx+3，
联立直线AB与椭圆方程，消去y整理得：（3+4k²）x²+24kx-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-2}{{y}_{1}-3}$+$\frac{{x}_{2}-2}{{y}_{2}-3}$
=$\frac{{x}_{1}-2}{k{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}-2}{k{x}_{2}}$
=$\frac{1}{k}$[（1-$\frac{2}{{x}_{1}}$）+（1-$\frac{2}{{x}_{2}}$）]
=$\frac{2}{k}$（1-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
=$\frac{2}{k}$（1-$\frac{-24k}{-12}$）
=$\frac{2}{k}$-4，
令y=4，则kx+3=4，从而M（$\frac{1}{k}$，4），
则$\frac{λ}{{k}_{3}}$=λ•$\frac{2-\frac{1}{k}}{3-4}$=$\frac{λ}{k}$-2λ，
∵$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{3}}$，
∴对比可知λ=2；
②当AB斜率不存在时，不妨设A（0，2$\sqrt{3}$），B（0，-2$\sqrt{3}$），M（0，4），
则$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2-0}{3-2\sqrt{3}}$+$\frac{2-0}{3+2\sqrt{3}}$=-4，
$\frac{1}{{k}_{3}}$=-2，当λ=2时也成立；
综上所述，存在常数λ=2，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$十$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2}{{k}_{3}}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．