Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1左顶点为A，下顶点B，分别过A和B作两条平行直线l₁和l₂，其中l₁与y轴交于C点，与椭圆交于另一点为P，l₂与x轴交于D点，与椭圆交于另一点为Q，设直线CD与直线PQ交于点E．
（1）当直线OP与直线OQ的斜率都存在时，证明：直线OP与直线OQ的斜率乘积为定值；
（2）证明：直线OE∥直线l₁．

Answer 1

分析 （1）如图所示，设直线AP的方程为：y=k（x+2），则直线BQ的方程为：y=kx-1，分别与椭圆方程联立可得点P，Q的坐标，利用斜率计算公式可得：k_OP，k_OQ，即可证明k_OP•k_OQ为定值．
（2）由（1）可得直线PQ与CD的方程，可得点E的坐标，只要证明k_OE=k即可．

解答 证明：（1）如图所示，
设直线AP的方程为：y=k（x+2），则直线BQ的方程为：y=kx-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
∴-2x_P=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，解得x_P=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y_P=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$．
∴k_OP=$\frac{2k}{1-4{k}^{2}}$．
同理可得：x_Q=$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，y_Q=$\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}$．
k_OQ=$\frac{4{k}^{2}-1}{8k}$，
∴k_OP•k_OQ=$\frac{2k}{1-4{k}^{2}}$•$\frac{4{k}^{2}-1}{8k}$=-$\frac{1}{4}$为定值．
（2）过点O作OE′∥BQ，则
由（1）可得：k_PQ=$\frac{4{k}^{2}-4k-1}{8{k}^{2}+8k-2}$．
直线PQ的方程为：y-$\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}-4k-1}{8{k}^{2}+8k-2}$（x-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$），（*）
由直线AP的方程为：y=k（x+2），可得C（0，2k），
同理可得：D$（\frac{1}{k}，0）$．
∴直线CD的方程为：y=-2k²x+2k．
与（*）联立解得x_E=$\frac{2（2k+1）（4{k}^{2}-1）}{16{k}^{4}+16{k}^{3}-4k-1}$，y_E=-2k²x_E+2k=$\frac{16{k}^{4}+8{k}^{3}-4k-2k}{16{k}^{4}+16{k}^{3}-4k-1}$，
∴k_OE=$\frac{{y}_{E}}{{x}_{E}}$=k，
因此直线OE∥直线l₁．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线斜率计算公式，考查了数形结合能力、推理能力与计算能力，属于难题．