Question

14．椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上有一点P（x₀，y₀），其中${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，求离心率的范围．

Answer 1

分析 由椭圆上点P的横坐标的值，得到关于a，b，c的不等式，求出e的范围，再与0＜e＜1取交集得答案．

解答 解：∵P（x₀，y₀）是椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点，
∴0≤${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$≤a²，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}≥0}\\{\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}≤{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$e≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}≤e＜1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，关键是把椭圆上点的横坐标转化为含有a，b，c的不等式，是基础题．