Question

9．四棱锥P-ABCD及其正（主）视图和俯视图如图所示．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求四棱锥P-ABCD的侧面积．

Answer 1

分析 （1）由三视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，棱锥的高为2，代入体积公式计算求得棱锥的体积．
（2）作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，PO=2，作OE⊥AB，垂足为E，连结PE，则可由勾股定理求出棱锥的斜高，进而计算出侧面积．

解答 解：（1）由俯视图可知棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，由正视图可知棱锥的高为2，
∴V=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×2$=$\frac{8}{3}$．
（2）由俯视图可知该棱锥为正四棱锥，作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，PO=2，
作OE⊥AB，垂足为E，连结PE，则OE=$\frac{1}{2}$AD=1，∴PE=$\sqrt{P{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}AB•PE$=$\sqrt{5}$．
∴四棱锥P-ABCD的侧面积S=4S_△PAB=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了空间几何体三视图与体积和面积计算，属于基础题．